2.6 Basis and Rank

📝 상세 정리

2.5장 에서 기저(Basis)를 간단하게 말하긴 했지만, 이것도 조금 더 엄밀하게 정의해보자.
어떤 벡터공간 $V$와 벡터 집합 $A = \{x_1, ..., x_k\} \subseteq V$ 에 대해, $A$의 선형 결합으로 만들 수 있는 집합을 span 이라고 하자.
- 그리고 span이 $V$와 같은 경우 해당 집합을 Generating Set 이라고 하자.
이제 우리는 Basis를 정의할 준비가 되었다.
- $V$의 Generating set $A$에 대해, $A' \subseteq A \subseteq V$ 인 생성집합 $A'$이 존재하지 않다면, 다시말해 $A$가 $V$를 표현할 수 있는 minimal한 집합이라면 $A$를 Basis 라 부르자.
여러가지 추가적인 사항도 알아보자.
- Basis는 유일하지 않다.
- vector space의 차원이 반드시 벡터의 요소 개수이지 않을 수 있다!
  - 둘이 같은경우에 선형독립과 Generaing Set은 같은 의미가 되겠지만
- 가우스 소거법 후 Pivot 열과 관련된 Spanning Vector이 U의 Basis이다.

$A \in R^{M \times N}$ 의 선형 독립인 열의 수는 선형 독립인 행의 수와 같고, 이를 Rank라 하자.
- 가우스 소거법 이후 Pivot 개수를 셀때를 생각해보면 조금 더 직관적으로 와닿는다.
- 차원이 다름에도 같은 개수의 독립을 가진다는게 신기하다!

❓ Question