📝 상세 정리

• 대각행렬은 참 유용하다.
  • $det$도 쉽게 구할 수 있고, 거듭제곱, 역행렬, eigenvector 등을 구하는게 모두 용이하다.
  • 심지어 transform 자체를 직관적으로 이해하는데도 훨씬 용이하다.
• 그렇다면, 어떤 행렬 $A$가 주어졌을때 해당 행렬을 대각화할 수 있지 않을까?
  • 다른 기저에서 해당 행렬을 바라본다면 보기 좋은 기저가 있지 않을까
  • 이를 $D = P^{-1}AP$로 나타내보자. 이를 만족하는 가역행렬 $P$가 존재한다면 $A$는 대각화가 가능하다고 한다.
    • 이 기저는 $A$의 eigenvector로 구성되어있다.
  • 해당 식은 $AP = PD$로 나타낼 수 있고, 이를 쪼개서
    • $Ap_1 = \lambda_1 p_1, ... ,Ap_n = \lambda_n p_n$ 이라고 생각하면 $A$의 eigenvector인것도 바로 보인다.
• 위 식을 조금 더 직관적으로 이해해보자.
  • $P^{-1}$은 기존 기저에서 eigen기저로 기저 변환을 수행한다.
  • $D$는 해당 기저 위에서 각 축으로 scaling을 수행한다.
  • $P$는 scaling된 벡터들을 다시 기존 기저로 변환한다.
• 대각행렬의 유용함 잘 써먹을수 있다!
• 하지만.. 언제나 대각행렬이 존재하는건 아니다.
  • 행렬이 정사각이 아니라면?
  • $P$가 역행렬이 존재하지 않거나, rank가 부족하다면?
    • 이 상황을 defective matrix(부족 행렬) 이라고 한다.
      • 예시로는 $A = ((1, \frac{1}{2}), (0, 1))$

❔질문 사항

🔗 참고 자료